Backbone colouring: Tree backbones with small diameter in planar graphs

Given a graph G and a spanning subgraph T of G, a backbone k-colouring for (G,T ) is a mapping c : V (G)→ {1, . . . ,k} such that |c(u)− c(v)| ≥ 2 for every edge uv ∈ E(T ) and |c(u)− c(v)| ≥ 1 for every edge uv ∈ E(G) \E(T ). The backbone chromatic number BBC(G,T ) is the smallest integer k such that there exists a backbone k-colouring of (G,T ). In 2007, Broersma et al. [2] conjectured that BBC(G,T ) ≤ 6 for every planar graph G and every spanning tree T of G. In this paper, we prove this conjecture when T has diameter at most four. Key-words: backbone colouring, planar graph, spanning tree ∗ Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brazil. Partly supported by CNPq/Universal and FUNCAP/Pronem. Email: {campos, rudini}@lia.ufc.br, [email protected] † Projet Mascotte, I3S (CNRS, UNS) and INRIA, Sophia Antipolis. Partly supported by the French Agence Nationale de la Recherche under Grant GRATEL ANR-09-blan-0373-01. Email: [email protected] Coloration dorsale : arbres dorsaux de petit diamètre dans les graphes planaires Résumé : Pour un graphe G et un sous-graphe T de G, une k-coloration dorsale de (G,T ) est une application c : V (G)→ {1, . . . ,k} telle que |c(u)− c(v)| ≥ 2 pour tout arête uv ∈ E(T ) et |c(u)− c(v)| ≥ 1 pour toute arête uv ∈ E(G) \ E(T ). Le nombre chromatique dorsal BBC(G,T ) est le plus petit entier k tel qu’il existe une kcoloration dorsale de (G,T ). En 2007, Broersma et al. [2] ont conjecturé que BBC(G,T ) ≤ 6 pour tout graphe planaire G et tout arbre couvrant T de G. Dans ce rapport, nous montrons cette conjecture lorsque T est de diamètre au plus 4. Mots-clés : coloration dorsale, graphe planaire, arbre couvrant Backbone colouring: tree backbones with small diameter in planar graphs 3